Satz des Pythagoras Rechner: Seiten im rechtwinkligen Dreieck berechnen

Wie lang ist die Diagonale eines rechteckigen Raums? Welche Länge muss eine Leiter haben, um eine bestimmte Höhe zu erreichen? Solche Fragen lassen sich mit dem Satz des Pythagoras beantworten – vorausgesetzt, es liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor. Mit unserem Satz des Pythagoras Rechner kannst du aus zwei bekannten Seitenlängen die dritte Seite bestimmen. Im Folgenden erkläre ich die Formeln, zeige Zahlenbeispiele und gehe auf typische Fehler ein.

Wann gilt der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras gilt ausschließlich für rechtwinklige Dreiecke. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten und werden meist mit a und b bezeichnet. Die gegenüberliegende, längste Seite ist die Hypotenuse c.

Zwischen den drei Seiten besteht dieser Zusammenhang:

a2 + b2 = c2

Anschaulich bedeutet das: Die Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten ergeben zusammen den Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.

Welche Seite lässt sich mit dem Rechner bestimmen?

Für eine Berechnung brauchst du die Längen von zwei Seiten. Welche Formel du verwendest, hängt davon ab, welche Seite fehlt:

• Hypotenuse berechnen: c = √(a2 + b2)
• Kathete a berechnen: a = √(c2 − b2)
• Kathete b berechnen: b = √(c2 − a2)

Wenn du eine Kathete suchst, muss die bekannte Hypotenuse länger sein als die bekannte Kathete. Andernfalls passen die Eingaben nicht zu einem rechtwinkligen Dreieck mit diesen Seiten.

Beispiele: Pythagoras mit Zahlen berechnen

Die folgende Tabelle zeigt sowohl die Berechnung einer Hypotenuse als auch die einer Kathete. Alle Längen eines Beispiels verwenden jeweils dieselbe Einheit.

Beispiel: Diagonale eines rechteckigen Raums

Ein rechteckiger Raum ist 3 m breit und 4 m lang. Seine Bodendiagonale bildet mit den beiden Raumseiten ein rechtwinkliges Dreieck. Damit gilt:

c = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5 m.

Die Diagonale des Bodens ist also 5 m lang. Auf dieselbe Weise kannst du die Diagonale einer rechteckigen Platte oder eines Bildschirms berechnen, sofern Breite und Höhe als Längen in derselben Einheit vorliegen.

Beispiel: Eine fehlende Kathete bestimmen

Bei einem rechtwinkligen Dreieck misst die Hypotenuse 10 cm und eine Kathete 6 cm. Gesucht ist die zweite Kathete. Hier werden die Quadrate subtrahiert:

b = √(102 − 62) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm.

Zur Kontrolle: 62 + 82 = 36 + 64 = 100 und 102 = 100.

So vermeidest du häufige Rechenfehler

• Den rechten Winkel prüfen: Ohne rechten Winkel darfst du die Seiten nicht mit a2 + b2 = c2 verknüpfen.
• Die Hypotenuse richtig zuordnen: Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite des Dreiecks.
• Einheiten vorher angleichen: Gib beispielsweise nicht eine Seite in Metern und die andere in Zentimetern ein. Rechne beide zunächst in dieselbe Einheit um.
• Erst quadrieren, dann die Wurzel ziehen: √(a2 + b2) ist im Allgemeinen nicht gleich a + b.
• Rundung beachten: Nicht jede Wurzel ergibt eine ganze Zahl. Runde möglichst erst das Endergebnis, damit Zwischenrundungen die Genauigkeit nicht unnötig verringern.

Was lässt sich mit dem Ergebnis anfangen?

Unser Rechner hilft überall dort, wo zwei senkrecht aufeinanderstehende Strecken und ihre Verbindung ein Dreieck bilden. Dazu zählen etwa die Diagonale eines Rechtecks, eine schräge Strecke zwischen einem Punkt am Boden und einem Punkt an einer Wand oder eine fehlende Seitenlänge in einer geometrischen Zeichnung.

Wichtig ist, die berechnete Strecke richtig einzuordnen: Die Diagonale zwischen zwei Punkten ist eine gerade Verbindung. Soll beispielsweise ein Kabel entlang zweier Wände verlegt werden, entspricht dessen Weg nicht automatisch der berechneten Diagonale.

Häufige Fragen zum Satz des Pythagoras Rechner

Reichen zwei Seitenlängen immer aus?

Für ein rechtwinkliges Dreieck ja, sofern klar ist, welche Seiten die Katheten und welche die Hypotenuse sind. Bei einem beliebigen Dreieck ohne bekannten rechten Winkel reichen diese Formeln nicht aus.

Kann die Hypotenuse kürzer als eine Kathete sein?

Nein. Sie ist stets die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Falls deine Eingaben etwas anderes nahelegen, überprüfe die Seitenzuordnung und die Einheiten.

Welche Einheit hat das Ergebnis?

Das Ergebnis ist eine Länge und hat dieselbe Einheit wie die eingegebenen Seiten. Rechnest du mit Zentimetern, erhältst du Zentimeter; rechnest du mit Metern, erhältst du Meter.

Fazit: Mit zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks lässt sich die dritte Seite eindeutig berechnen. Für die Hypotenuse addierst du die Quadrate der Katheten und ziehst die Wurzel. Für eine fehlende Kathete ziehst du das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse ab und ziehst anschließend die Wurzel.